円運動

ある質点が半径\(r_0\)の円周上を原点を中心に等速円運動をしている。ただし、時刻tにおける質点の位置は
$$(x,y)=(r_0\cos{\omega t},r_0\sin{\omega t})$$
で表される。
(1)速度\(\boldsymbol{v}\)を求めよ。
(2)加速度\(\boldsymbol{a}\)を求めよ。

（１）円運動なのでr方向の時間変化はない。よって\(r_0\)は定数であるので $$\begin{align}\boldsymbol{v}&=(\dot{x},\dot{y})\\&=(-r_0\omega\sin{\omega t},r_o\omega\cos{\omega t})\\ &=\omega(-y,x)\end{align}$$

（２）速度を時間微分すればよいので
$$\begin{align} \boldsymbol{a}&=(\ddot{x},\ddot{y})\\ &=(-r_0\omega^2\cos{\omega t},-r_0\omega^2\sin{\omega t})\\ &=-\omega^2(x,y)\end{align}$$

（解説）
この問題におけるポイントは「速度は円の接戦方向のベクトルである」ことと「加速度は円の中心方向のベクトルである」ことです。試しに速度ベクトルに位置ベクトル\((x,y)\)で内積をとれば０になり垂直であることが分かると思います。加速度は大きさは違えど位置ベクトルに逆方向を表すマイナスがついただけで明らかに中心方向のベクトルとわかると思います。補足として半径が時間変化する運動として楕円があります。楕円についてはまた別の記事で解説します。