質量\(m\)の質点が速さ\(v\)のみに比例する抵抗を受け\(z\)軸下向きに落下するとき、以下の問いに答えよ。ただし、重力加速度を\(g\)、比例係数を\(\gamma(>0)\)とする。
(1)時刻tにおける質点の速度\(v\)をあらわせ。
(2)時刻tにおける質点の位置\(z\)をあらわせ。
(3)t=0のとき\(v=v_0,z=z_0\)とする。\(v,z\)を求めよ。
（１）変数分離系として解く場合(一般的)
z軸上向き正とすると、z軸方向の運動方程式より
$$\begin{align}m\dot{v}&=-mg-\gamma v\\ \dot{v}&=-g-\frac{\gamma}{m}v\\ \frac{m}{\gamma}\dot{v}&=-\frac{mg}{\gamma}-v\\ \frac{1}{v+\frac{mg}{\gamma}}\dot{v}&=-\frac{\gamma}{m}\end{align}$$
１．抵抗を受けて運動するため質点は減速します。よってこの問題では加速度はz軸上向きです。
２．重力はz軸下向きなのでマイナスがつきます。
３．抵抗の向きは上向きですが\(v\)が下向きのためマイナスがつきます。
４．整理すると変数分離系の微分方程式の形になります。
よって両辺積分すると
$$\begin{align}\log|v+\frac{mg}{\gamma}|&=-\frac{\gamma}{m}t+C\\ v+\frac{mg}{\gamma}&=\pm e^{-\frac{\gamma}{m}t+C}\\ v&=-\frac{mg}{\gamma}+C_1 e^{-\frac{\gamma}{m}t} \end{align}$$
ただし、\(C_1\)は任意定数
正確には\(C_1=\pm e^C\)ですが\(C_1=0\)のとき\(\dot{v}=0\)になることは明らかなので改めて任意定数としてしています。
一階線形微分方程式として解く場合（しなくてよい）
z軸上向き正とすると、z軸方向の運動方程式より
$$\begin{align}m\dot{v}&=-mg-\gamma v\\ \dot{v}+\frac{\gamma}{m}v&=-g\end{align}$$
先ほどと同じです。整理すると一階線形微分方程式の形になります。
同次微分方程式 \(\dot{v}+\frac{\gamma}{m}v=0\)を解くと
$$v=Ce^{-\frac{\gamma}{m} t}$$
ただし、Cは任意定数
一階線形微分方程式を解くためにまず同次微分方程式を解きました。今回は簡単のため解いた結果を載せましたが、皆さんは自身の手で解いてみてください。
ここで\(C\)を\(C(x)\)におきかえて元の式に代入すると
$$ \begin{align}(C(x)e^{-\frac{\gamma}{m} t})’+\frac{\gamma}{m}C(x)e^{-\frac{\gamma}{m} t}&=-g\\ C'(x)e^{-\frac{\gamma}{m} t}+C(x)(-\frac{\gamma}{m})e^{-\frac{\gamma}{m} t}+\frac{\gamma}{m}C(x)e^{-\frac{\gamma}{m}t}&=-g\\ C'(x)&=-ge^{\frac{\gamma}{m}t}\\ C(x)&=-\frac{mg}{\gamma}e^{\frac{\gamma}{m}t}+C_1 \end{align}$$
したがって
$$v=-\frac{mg}{\gamma}+C_1 e^{-\frac{\gamma}{m}t}$$
ただし\(C_1\)は任意定数
（２）\(v\)を積分すると
$$z=-\frac{mg}{\gamma}t-\frac{m}{\gamma}C_1 e^{-\frac{\gamma}{m}t}+C_2$$
ただし\(C_2\)は任意定数
（３）t=0のときv,zはそれぞれ
$$\begin{align}v_0&=-\frac{mg}{\gamma}+C_1 & z_0=-\frac{m}{\gamma}C_1+C_2 \end{align}$$
したがって
$$\begin{align}C_1&=v_0+\frac{mg}{\gamma} & C_2=z_0+\frac{m}{\gamma}v_0+\frac{m^2 g}{\gamma^2} \end{align}$$
ゆえに
$$\begin{align}v&=-\frac{mg}{\gamma}+(v_0+\frac{mg}{\gamma})e^{-\frac{\gamma}{m}t}\\ z&=-\frac{mg}{\gamma}t-\frac{m}{\gamma}(v_0+\frac{mg}{\gamma})e^{-\frac{\gamma}{m}t}+z_0+\frac{m}{\gamma}v_0+\frac{m^2 g}{\gamma^2}\\ &=(\frac{m}{\gamma}v_0+\frac{m^2}{\gamma^2}g)(e^{-\frac{\gamma}{m}t}-1)-\frac{mg}{\gamma}t+z_0\end{align}$$
（解説）
２通りの解き方をしてみましたが変数分離系の形で解くのが一般的です。ポイントは最初の運動方程式の書き方です。大きさがどっちを向いているかを意識しながら正負をつけましょう。あとは微分方程式さえ解ければ簡単です。
